جواب کاردرکلاس های صفحه 15 ریاضی یازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه ۱۵ ریاضی و آمار یازدهم انسانی سلام دانش‌آموزان عزیز! این بخش مربوط به یکی از مهم‌ترین قوانین استدلال در منطق ریاضی یعنی **قاعدهٔ قیاس استثنایی (Modus Ponens)** است. یادگیری این قاعده به شما کمک می‌کند تا استدلال‌های منطقی را درست انجام دهید. --- ## ۱. اثبات درستی قاعدهٔ قیاس استثنایی **قاعده قیاس استثنایی** می‌گوید: اگر بدانیم **گزارهٔ شرطی** ($\\text{p} \to \text{q}$) درست است و **فرض** ($\\text{p}$) نیز درست باشد، آنگاه می‌توانیم نتیجه بگیریم که **حکم** ($\\text{q}$) هم حتماً درست است. شکل نمادی آن به صورت زیر است: $$\underbrace{\text{p} \land (\text{p} \Rightarrow \text{q})}_{\text{فرض‌ها}} \Rightarrow \underbrace{\text{q}}_{\text{نتیجه}}$$ برای اثبات درستی این گزاره (اینکه یک **توتولوژی** است، یعنی همواره درست است)، جدول ارزش آن را تشکیل می‌دهیم: | $\text{p}$ | $\text{q}$ | $\text{p} \Rightarrow \text{q}$ | $\text{p} \land (\text{p} \Rightarrow \text{q})$ (فرض کلی) | $\underbrace{\text{p} \land (\text{p} \Rightarrow \text{q})}_{\text{فرض‌ها}} \Rightarrow \underbrace{\text{q}}_{\text{نتیجه}}$ (قاعده) | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{D}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | | $\text{D}$ | $\text{N}$ | $\text{N}$ | $\text{N}$ | $\text{D}$ | | $\text{N}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | $\text{N}$ | $\text{D}$ | | $\text{N}$ | $\text{N}$ | $\text{D}$ | $\text{N}$ | $\text{D}$ | **نتیجه:** همانطور که می‌بینید، ستون آخر جدول (ستون قاعده) همواره **درست** ($\\text{D}$) است. بنابراین، **قاعده قیاس استثنایی** یک **توتولوژی** است و از نظر منطقی **همیشه معتبر** است. --- ## ۲. تکمیل استدلال‌ها با قاعده قیاس استثنایی ما از قاعده **قیاس استثنایی** استفاده می‌کنیم: $\underbrace{\text{p} \Rightarrow \text{q}}_{\text{مقدمهٔ شرطی}} \text{ و } \underbrace{\text{p}}_{\text{مقدمهٔ اثباتی}} \text{، نتیجه می‌دهد } \underbrace{\text{q}}_{\text{نتیجه}}$. ### الف) استدلال عددی * **مقدمهٔ شرطی (قانون):** $\text{p}: 3 > 0 \Rightarrow 4 > 1$. * $\text{p}$: $3 > 0$ (فرض) * $\text{q}$: $4 > 1$ (حکم) * **مقدمهٔ اثباتی (فرض):** $\text{p}: 3 > 0$. (ما درست بودن فرض را تأیید می‌کنیم.) **نتیجهٔ منطقی (q):** با توجه به قاعده، نتیجه حکم ($\\text{q}$) خواهد بود. $$\therefore 4 > 1$$ ### ب) استدلال هندسی * **مقدمهٔ شرطی (قانون):** $\text{p}: \text{L}_1 \text{ و } \text{L}_2 \text{ موازی باشند} \Rightarrow \text{q}: \text{L}_1 \text{ و } \text{L}_2 \text{ هیچگاه یکدیگر را قطع نمی‌کنند.}$ * $\text{p}$: $\text{L}_1 \text{ و } \text{L}_2 \text{ موازی باشند}$ * $\text{q}$: $\text{L}_1 \text{ و } \text{L}_2 \text{ هیچگاه یکدیگر را قطع نمی‌کنند.}$ * **نتیجهٔ منطقی (q):** $\therefore \text{L}_1 \text{ و } \text{L}_2 \text{ هیچگاه یکدیگر را قطع نمی‌کنند.}$ (حکم گزارهٔ شرطی) **مقدمهٔ اثباتی (p):** با توجه به قاعده، برای رسیدن به $\text{q}$، باید $\text{p}$ درست باشد. پس جای خالی باید با **فرض** پر شود. $$\text{L}_1 \text{ و } \text{L}_2 \text{ موازی باشند.}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۵ ریاضی و آمار یازدهم انسانی دانش‌آموزان عزیز، این سؤال یک مثال جذاب برای درک مفهوم **استدلال** و **بررسی حالت‌ها** است. این مسئله به **بازی لیوان‌ها** معروف است و در آن تنها مجازیم همزمان **دو لیوان** را برگردانیم. **وضعیت اولیه:** * لیوان $\text{A}$: **وارونه** ($\\text{N}$) * لیوان $\text{B}$: **رو به بالا** ($\\text{D}$) * لیوان $\text{C}$: **وارونه** ($\\text{N}$) **هدف:** رساندن هر سه لیوان به حالت **رو به بالا** ($\\text{D}$، $\\text{D}$، $\\text{D}$). **قانون:** در هر مرحله، همزمان دو لیوان را برگردانید. ### آیا فقط یک راه حل وجود دارد؟ خیر! این مسئله را می‌توان در **دو حرکت** به جواب رساند، و بیش از یک مسیر برای رسیدن به آن وجود دارد: **راه حل اول (مسیر A و C، سپس A و B):** | مرحله | حرکت (دو لیوان برگردانده شده) | وضعیت جدید $| |:---:|:---:|:---:| | شروع | - | $\text{N}$, $\text{D}$, $\text{N}$ | | ۱ | $\text{A}$ و $\text{C}$ | $\text{D}$, $\text{D}$, $\text{D}$ | **توضیح مرحله ۱ (A و C):** * $\text{A}$ (وارونه) را برگردانیم $\to$ $\text{D}$ (رو به بالا) * $\text{C}$ (وارونه) را برگردانیم $\to$ $\text{D}$ (رو به بالا) * $\text{B}$ (رو به بالا) دست نخورده باقی می‌ماند. **نتیجه:** در این حالت، با یک حرکت به هدف رسیدیم. **راه حل دوم (مسیر A و B، سپس B و C):** | مرحله | حرکت (دو لیوان برگردانده شده) | وضعیت جدید $| |:---:|:---:|:---:| | شروع | - | $\text{N}$, $\text{D}$, $\text{N}$ | | ۱ | $\text{A}$ و $\text{B}$ | $\text{D}$, $\text{N}$, $\text{N}$ | | ۲ | $\text{B}$ و $\text{C}$ | $\text{D}$, $\text{D}$, $\text{D}$ | **نکته آموزشی:** این مثال به ما نشان می‌دهد که در مسائل ریاضی و منطقی، ممکن است برای رسیدن به یک جواب، **مسیرهای مختلفی** وجود داشته باشد. مهم این است که در هر مسیر، اصول و قواعد (یعنی همزمان برگرداندن دو لیوان) رعایت شود.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۱۵ ریاضی و آمار یازدهم انسانی این سؤال یک گام فراتر می‌رود و از شما می‌خواهد که یک **استدلال کلی** (برای تعداد فرد لیوان‌ها) را بررسی کنید. ### مفهوم کلیدی: "تغییر تعداد وارونه‌ها" در بازی لیوان‌ها (که در هر مرحله دو لیوان را برمی‌گردانیم)، تغییر در تعداد لیوان‌های وارونه همیشه یک عدد **زوج** است: 1. **برگرداندن ۲ لیوان رو به بالا (D):** هر دو $\text{D} \to \text{N}$ می‌شوند. تعداد وارونه‌ها **۲ واحد زیاد** می‌شود (زوج). 2. **برگرداندن ۲ لیوان وارونه (N):** هر دو $\text{N} \to \text{D}$ می‌شوند. تعداد وارونه‌ها **۲ واحد کم** می‌شود (زوج). 3. **برگرداندن ۱ لیوان $\text{D}$ و ۱ لیوان $\text{N}$:** $\text{D} \to \text{N}$ و $\text{N} \to \text{D}$. تعداد وارونه‌ها **تغییر نمی‌کند** (صفر، که زوج است). **نتیجه استدلال:** در هر حرکت، تعداد لیوان‌های وارونه یا **تغییر نمی‌کند** (صفر)، یا **دو واحد کم یا زیاد** می‌شود. به عبارت دیگر، **جفت بودن یا فرد بودن** تعداد لیوان‌های وارونه همیشه ثابت می‌ماند. --- ### بررسی تعمیم استدلال به حالت کلی **حالت کلی مسئله:** * تعداد کل لیوان‌ها: **بیش از ۳** (مثلاً $5$ یا $7$ لیوان). * تعداد لیوان‌های وارونه: **فرد** (مثلاً $1$ یا $3$ یا $5$ لیوان). **هدف:** رساندن تمام لیوان‌ها به حالت **رو به بالا** ($\\text{D}$). **تعداد لیوان‌های وارونه در هدف نهایی:** صفر (که یک عدد **زوج** است). **پاسخ به سؤال:** خیر، استدلال قابل تعمیم نیست و **امکان‌پذیر نیست**. **توضیح:** 1. ما از یک حالت با تعداد وارونه‌های **فرد** شروع کرده‌ایم. 2. می‌دانیم که در هر حرکت، جفت بودن یا فرد بودن تعداد وارونه‌ها **حفظ** می‌شود (تغییر زوج دارند). 3. بنابراین، اگر با یک تعداد وارونه **فرد** شروع کنیم، هرگز نمی‌توانیم به تعداد وارونه **زوج** (یعنی صفر) برسیم. **نکته:** در واقع، این مسئله بر اساس **پایستگی زوجیت (Parity)** حل می‌شود. تا زمانی که تعداد لیوان‌های وارونه در ابتدا **زوج** نباشد (که صفر هم زوج است)، نمی‌توان تمام لیوان‌ها را رو به بالا کرد.